微分積分例

$\int_{0.5}^{4} x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1 d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0.5}^{4} x^{3} d x + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

ステップ 2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

ステップ 3

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $- 6$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 \int_{0.5}^{4} x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

ステップ 6

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 \int_{0.5}^{4} x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + x]_{0.5}^{4}$

ステップ 10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4}$ と $x]_{0.5}^{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} x^{4} + x]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

ステップ 10.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$4$ および $0.5$ で $\frac{1}{4} x^{4} + x$ の値を求めます。

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

ステップ 10.2.2

$4$ および $0.5$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

ステップ 10.2.3

$4$ および $0.5$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.1

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot 256 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.2

$\frac{1}{4}$ と $256$ をまとめます。

$\frac{256}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.3

$256$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.3.1

$4$ を $256$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 64}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{64}{1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.3.2.4

$64$ を $1$ で割ります。

$64 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.4

$64$ と $4$ をたし算します。

$68 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.5

$0.5$ を $4$ 乗します。

$68 - (\frac{1}{4} \cdot 0.0625 + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.6

$\frac{1}{4}$ と $0.0625$ をまとめます。

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.7

$0.5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5 \cdot \frac{4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.8

$0.5$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$68 - (\frac{0.0625}{4} + \frac{0.5 \cdot 4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.9

公分母の分子をまとめます。

$68 - \frac{0.0625 + 0.5 \cdot 4}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.10

$0.5$ に $4$ をかけます。

$68 - \frac{0.0625 + 2}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.11

$0.0625$ と $2$ をたし算します。

$68 - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.12

$68$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$68 \cdot \frac{4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.13

$68$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{68 \cdot 4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{68 \cdot 4 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.15

$68$ に $4$ をかけます。

$\frac{272 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.16

$272$ から $2.0625$ を引きます。

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.17

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.18

$0.5$ を $3$ 乗します。

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{0.125}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{269.9375}{4} - 6 \frac{64 - 0.125}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.20

$64$ から $0.125$ を引きます。

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{63.875}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.21

$- 6$ と $\frac{63.875}{3}$ をまとめます。

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 6 \cdot 63.875}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.22

$- 6$ に $63.875$ をかけます。

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.23

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{269.9375}{4} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.24

$\frac{269.9375}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.25

$- \frac{383.25}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.26

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.26.1

$\frac{269.9375}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{269.9375 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.26.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.26.3

$\frac{383.25}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.26.4

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.27

公分母の分子をまとめます。

$\frac{269.9375 \cdot 3 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.28

$269.9375$ に $3$ をかけます。

$\frac{809.8125 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.29

$- 383.25$ に $4$ をかけます。

$\frac{809.8125 - 1533}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.30

$809.8125$ から $1533$ を引きます。

$\frac{- 723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.31

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.32

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{16}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.33

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.33.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.33.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.33.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.33.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.33.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8}{1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.33.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

ステップ 10.2.4.34

$0.5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{0.25}{2})$

ステップ 10.2.4.35

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{0.25}{2})$

ステップ 10.2.4.36

$8$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{0.25}{2})$

ステップ 10.2.4.37

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{8 \cdot 2 - 0.25}{2}$

ステップ 10.2.4.38

$8$ に $2$ をかけます。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{16 - 0.25}{2}$

ステップ 10.2.4.39

$16$ から $0.25$ を引きます。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{15.75}{2})$

ステップ 10.2.4.40

$9$ と $\frac{15.75}{2}$ をまとめます。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{9 \cdot 15.75}{2}$

ステップ 10.2.4.41

$9$ に $15.75$ をかけます。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2}$

ステップ 10.2.4.42

$\frac{141.75}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2} \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 10.2.4.43

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.43.1

$\frac{141.75}{2}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

ステップ 10.2.4.43.2

$2$ に $6$ をかけます。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{12}$

ステップ 10.2.4.44

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 723.1875 + 141.75 \cdot 6}{12}$

ステップ 10.2.4.45

$141.75$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 723.1875 + 850.5}{12}$

ステップ 10.2.4.46

$- 723.1875$ と $850.5$ をたし算します。

$\frac{127.3125}{12}$

ステップ 11

$127.3125$ を $12$ で割ります。

$10.609375$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例