微分積分例

$\int (18 x + e^{x}) \sqrt{9 x^{2} + e^{x}} d x$

ステップ 1

$u = 9 x^{2} + e^{x}$ とします。次に $d u = (18 x + e^{x}) d x$ すると、 $\frac{1}{18 x + e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 9 x^{2} + e^{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$9 x^{2} + e^{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + e^{x}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $9 x^{2} + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$18 x + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$18 x + e^{x}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $9 x^{2} + e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(9 x^{2} + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例