微分積分例

$\int 2 \cos (7 x) - \sin (\frac{x}{2}) - π d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

ステップ 3

$u_{1} = 7 x$ とします。次に $d u_{1} = 7 d x$ すると、 $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{1} = 7 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 3.1.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$7$ に $1$ をかけます。

$7$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

ステップ 4

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$2 \int \frac{\cos (u_{1})}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

ステップ 5

$\frac{1}{7}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

ステップ 6

$\frac{1}{7}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

ステップ 7

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

ステップ 9

$u_{2} = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{2} = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int - π d x$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2} + \int - π d x$

ステップ 10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \cdot 2 d u_{2} + \int - π d x$

ステップ 10.3

$2$ を $\sin (u_{2})$ の左に移動させます。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

ステップ 11

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int - π d x$

ステップ 12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 \int \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

ステップ 13

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) + \int - π d x$

ステップ 14

定数の法則を当てはめます。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) - π x + C$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{2 \sin (u_{1})}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (\frac{x}{2}) - π x + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{2}{7} \sin (7 x) + 2 \cos (\frac{1}{2} x) - π x + C$

微分積分 例

微分積分例