微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + 2 x - 8}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2} - 2 x$ および $g (x) = x^{2} + 2 x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.11

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + 0)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2.12

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2)$ を展開します。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.3

$- 2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.2.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.8

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.9

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3

$- 2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.4

$- 4 x$ から $16 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x + 2) + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.7.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.7.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.7.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.7.1.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.7

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.1.8

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.7.2

$- 2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

$2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 0 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2.2

$2 x^{2} - 20 x + 16$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

$2 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 16 + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.4

$- 20 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$4$ を $4 x^{2} - 16 x + 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.3

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.4

$4$ を $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.5

$4$ を $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 1.3.3.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $2$ です。

$- 2, 4$

ステップ 1.3.4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{((x - 2) (x + 4))}^{2}}$

ステップ 1.3.4.2

積の法則を $(x - 2) (x + 4)$ に当てはめます。

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.2

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ を ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.3.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 2.3.5.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$ です。

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ を ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.1.2.2

${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 3.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 3.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$- 8 (- 3 {(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 3$ に $- 8$ をかけます。

$24 ({(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$24 {(x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.3.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + 0)$

ステップ 3.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$24 {(x + 4)}^{- 4} \cdot 1$

ステップ 3.3.5.2

$24$ に $1$ をかけます。

$24 {(x + 4)}^{- 4}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$24 \frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 3.4.2

$24$ と $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$ です。

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ を ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$24 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.2

${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

ステップ 4.1.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 4}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 4.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$24 (- 4 {(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 4$ に $24$ をかけます。

$- 96 ({(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.3.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + 0)$

ステップ 4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} \cdot 1$

ステップ 4.3.5.2

$- 96$ に $1$ をかけます。

$- 96 {(x + 4)}^{- 5}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 96 \frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$- 96$ と $\frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 96}{{(x + 4)}^{5}}$

ステップ 4.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$ です。

$- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例