微分積分例

$y = \cos (x) + \tan (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\cos (x) + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f' (x) = - \sin (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \sin (x) + \sec^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$- \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$- \cos (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$- \cos (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 2.3.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

ステップ 2.3.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

ステップ 2.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \cos (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

ステップ 2.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \cos (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.2.4

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.2.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 2.4.2.6

まとめる。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 2.4.2.7

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.7.1

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.7.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x)$

ステップ 2.4.2.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \cos (x)$

ステップ 2.4.2.7.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \cos (x)$

ステップ 2.4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$\cos (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \cos (x)$

ステップ 2.4.3.2

分数を分解します。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 2.4.3.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.3.4

$1$ を掛けます。

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.3.5

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.3.6

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 2.4.3.7

$2$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.4.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.5

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.6

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.6.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.7

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.8

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.11

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.12

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - - \sin (x)$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 1 \sin (x)$

ステップ 3.3.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

ステップ 3.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \sec^{4} (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.4

$4$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.6

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.7

まとめる。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.8

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.8.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.8.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.9

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.10

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.4.12

$2$ と $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ をまとめます。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$1$ を掛けます。

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.2

$\cos^{2} (x)$ を $\cos^{4} (x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.3

分数を分解します。

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.4

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.6

$1$ を掛けます。

$\frac{4}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.7

分数を分解します。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.8

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{4}{1} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.9

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.10

$1$ を掛けます。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x) \cdot 1} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.11

分数を分解します。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.12

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ を $\sec^{4} (x)$ に変換します。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 3.4.5.13

$2$ を $1$ で割ります。

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ および $g (x) = \tan^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x)$ とします。

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (x)$ とします。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.6

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.7

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.7.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.8

$2$ を $\sec^{4} (x)$ の左に移動させます。

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.9

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.10

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.13

指数を足して $\tan^{2} (x)$ に $\tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.1

$\tan (x)$ を移動させます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.13.2

$\tan (x)$ に $\tan^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.13.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.13.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2.14

$2$ を $\tan^{3} (x)$ の左に移動させます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sec^{4} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ です。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sec (x)$ とします。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.6

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.7

$4$ に $2$ をかけます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

分配則を当てはめます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.2.3

$8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ と $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ をたし算します。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$16 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$16 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$16 \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.4

$16$ と $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ をまとめます。

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.6

まとめる。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.7

指数を足して $\cos^{4} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.7.1

$\cos^{4} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.7.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos^{1} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{16 \sin (x)}{{\cos (x)}^{4 + 1}} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.7.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.8

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.9

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.10

$8$ と $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ をまとめます。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.11

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.12

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.13

まとめる。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.14

指数を足して $\cos^{3} (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{3 + 2}} + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.14.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.15.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.3.15.2

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.1

$\cos (x)$ を $\cos^{5} (x)$ で因数分解します。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.2

分数を分解します。

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.4

$1$ を掛けます。

$\frac{16}{\cos^{4} (x) \cdot 1} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.5

分数を分解します。

$\frac{16}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.6

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ を $\sec^{4} (x)$ に変換します。

$\frac{16}{1} \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.7

$16$ を $1$ で割ります。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.8

$1$ を掛けます。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.9

$\cos^{3} (x)$ を $\cos^{5} (x)$ で因数分解します。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.10

分数を分解します。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.11

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ を $\tan^{3} (x)$ に変換します。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.12

$8$ に $1$ をかけます。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.13

$1$ を掛けます。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.14

分数を分解します。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.15

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$

ステップ 4.5.4.16

$8$ を $1$ で割ります。

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$

微分積分 例

微分積分例