微分積分例

$y = x \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

ステップ 1.3.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$0 + \frac{1}{x}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2

微分します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 4.2.6

式を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$2 x^{- 3} + 0$

ステップ 4.2.6.2

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{- 3}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 4.3.2

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{2}{x^{3}}$

微分積分 例

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