微分積分例

$\int \frac{1}{2 x \sqrt{x}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} d x$

ステップ 1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} d x$

ステップ 1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} d x$

ステップ 1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} d x$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} d x$

ステップ 1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

ステップ 3.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

ステップ 3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ を $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 5.2.4

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 5.2.5

式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

微分積分例