微分積分例

$\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.2

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$\cos (t)$ を $\sin^{2} (t) \cos (t)$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ を $\csc^{2} (t)$ に変換します。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \csc^{2} (t) d t$

ステップ 4

$- \cot (t)$ の微分係数が $\csc^{2} (t)$ なので、 $\csc^{2} (t)$ の積分は $- \cot (t)$ です。

$- \cot (t)]_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ および $\frac{π}{6}$ で $- \cot (t)$ の値を求めます。

$(- \cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))) + \cot (\frac{π}{6})$

ステップ 5.2

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))$ は $\frac{i \sqrt{3}}{3}$ です。

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \cot (\frac{π}{6})$

ステップ 6

$\cot (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例