微分積分例

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos (x)} d x$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して $\cos (x)$ を $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ に変換します。

$\int \frac{1}{3 + 2 (\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

ステップ 2

分配則を当てはめます。

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 (- \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

ステップ 3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を利用し $3$ を $3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ に変換します。

$\int \frac{1}{3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$3 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ から $2 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ を引きます。

$\int \frac{1}{3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\sin (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

ステップ 5.2

$3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ と $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ をたし算します。

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 6

独立変数に $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$ を掛ける

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

まとめる。

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 7.2

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{x}{2})$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 8.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ に当てはめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 8.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 8.4

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ を $5 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 8.4.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 8.4.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 8.5

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{x}{2})$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

ステップ 8.6

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ に当てはめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 8.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 8.8

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$ と $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 9

$\frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ を $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ に変換します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 10

$u_{1} = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u_{1} = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 10.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 10.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} (1 \cdot 2) d u_{1}$

ステップ 11.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot 2 d u_{1}$

ステップ 11.3

$\frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 11.4

$2$ を $\sec^{2} (u_{1})$ の左に移動させます。

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 12

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 13

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$\tan (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

ステップ 13.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1})$

ステップ 13.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{5 + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 14

$5$ を ${\sqrt{5}}^{2}$ に書き換えます。

$2 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 15

$\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C$ です。

$2 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C)$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ と $\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})$ をまとめます。

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

ステップ 16.2

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$ を $2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ に書き換えます。

$2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

ステップ 16.3

$2$ と $\frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ をまとめます。

$\frac{2 \arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (u_{1}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

ステップ 17.2

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

ステップ 18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + C$

ステップ 18.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + C$

ステップ 18.2.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + C$

ステップ 18.2.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + C$

ステップ 18.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + C$

ステップ 18.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + C$

ステップ 18.2.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

ステップ 18.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

ステップ 18.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

ステップ 18.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

ステップ 18.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{1}} + C$

ステップ 18.2.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5} + C$

ステップ 18.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \tan (\frac{1}{2} x)) + C$

微分積分 例

微分積分例