微分積分例

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

ステップ 1

$\frac{1}{x}$ と $\ln (\frac{1}{x})$ をまとめます。

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

ステップ 2

$u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ とします。次に $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ すると、 $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\ln (\frac{1}{x})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{x}$ で割ります。

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.4

式を簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$x$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.1.5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- x^{- 2})$

ステップ 2.1.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- (x^{1} x^{- 2})$

ステップ 2.1.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{1 - 2}$

ステップ 2.1.8

$1$ から $2$ を引きます。

$- x^{- 1}$

ステップ 2.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - u_{2} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 5

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 6

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (\frac{1}{x})$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$

微分積分 例

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