微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} x^{2} \cos (3 x) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \cos (3 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $\sin (3 x)$ をまとめます。

$x^{2} \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{\sin (3 x)}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (3 x) (x) d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (3 x) (x) d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = \sin (3 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} \cos (3 x))]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\cos (3 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (x (- \frac{\cos (3 x)}{3})]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{\cos (3 x)}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

ステップ 6.3

$\cos (3 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

ステップ 8.2

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (3 x) d x)$

ステップ 10

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 10.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 10.2

$u = 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 10.3

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 10.4

$u = 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

ステップ 10.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

ステップ 10.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

ステップ 10.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 10.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 10.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{3} d u)$

ステップ 11

$\cos (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{3} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

ステップ 13.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

ステップ 14

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{9} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 15

$\frac{1}{9}$ と $\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

ステップ 16

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (3 \frac{π}{6})}{3}) - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

ステップ 16.2

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $- \frac{x \cos (3 x)}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (3 \frac{π}{6})}{3}) - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

ステップ 16.3

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

ステップ 16.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

$3$ と $\frac{π}{6}$ をまとめます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.2

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.2.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.2.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 16.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.4

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.5

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.6

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.6.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.6.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 16.4.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.8

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.9

$3$ と $\frac{π}{6}$ をまとめます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{6})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.10

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.10.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 (π)}{6})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.10.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{π}{2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.11

$\frac{π}{6}$ と $\cos (\frac{π}{2})$ をまとめます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.12

$\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}}{3}$ を積として書き換えます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.13

$\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6 \cdot 3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.14

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.15

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0 \cos (0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.16

$0$ に $\cos (0)$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.17

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.17.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 (0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.17.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.17.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.17.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.17.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0}{1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.17.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + 0 + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.18

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

ステップ 16.4.19

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9} \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 16.4.20

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $18$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.20.1

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{9 \cdot 2})$

ステップ 16.4.20.2

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{18})$

ステップ 16.4.21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{18}$

ステップ 16.4.22

$2$ を $\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$ の左に移動させます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 \cdot (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{18}$

ステップ 16.4.23

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{18}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{(- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))) \cdot 2}{18 \cdot 3}$

ステップ 16.4.24

$18$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{(- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))) \cdot 2}{54}$

ステップ 16.4.25

$2$ を $- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ の左に移動させます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 \cdot (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{54}$

ステップ 16.4.26

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.26.1

$2$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{2 \cdot 27}$

ステップ 16.4.26.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{2 \cdot 27}$

ステップ 16.4.26.3

式を書き換えます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

ステップ 17.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

ステップ 17.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{27}$

ステップ 17.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{27}$

ステップ 17.5

${(\frac{π}{6})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{27}$

ステップ 17.6

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 π + 2 (1 - 0)}{27}$

ステップ 17.7

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 (1 - 0)}{27}$

ステップ 17.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 (1 + 0)}{27}$

ステップ 17.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 \cdot 1}{27}$

ステップ 17.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2}{27}$

ステップ 17.11

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{2}{27}$

ステップ 18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

積の法則を $\frac{π}{6}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{π^{2}}{6^{2}}}{3} - \frac{2}{27}$

ステップ 18.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{π^{2}}{36}}{3} - \frac{2}{27}$

ステップ 18.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{π^{2}}{36} \cdot \frac{1}{3} - \frac{2}{27}$

ステップ 18.3

まとめる。

$\frac{π^{2} \cdot 1}{36 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

ステップ 18.4

$π^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{36 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

ステップ 18.5

$36$ に $3$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{108} - \frac{2}{27}$

ステップ 19

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π^{2}}{108} - \frac{2}{27}$

10進法形式：

$0.01731115 \dots$

微分積分 例

微分積分例