微分積分例

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{t}$ を $t^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

ステップ 1.1.2

$t^{\frac{1}{3}}$ を $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

$t^{\frac{1}{3}}$ を $t^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

ステップ 1.1.2.2

$1$ を掛けます。

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

ステップ 1.1.2.3

$t^{\frac{1}{3}}$ を $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ で因数分解します。

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

ステップ 1.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $t^{\frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

ステップ 1.3

指数を足して $t^{2}$ に $t^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

ステップ 1.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

ステップ 1.3.3

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

ステップ 1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

ステップ 1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

ステップ 1.3.5.2

$6$ から $1$ を引きます。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

ステップ 2

$t^{\frac{5}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

ステップ 3

${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

ステップ 3.2

$\frac{5}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{5}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

ステップ 3.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 4.4

$8$ から $5$ を引きます。

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 4.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.1

共通因数を約分します。

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 4.5.2

式を書き換えます。

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 4.6

簡約します。

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 4.7

$t^{- \frac{5}{3}}$ に $1$ をかけます。

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 6

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

ステップ 7

べき乗則では、 $t^{- \frac{5}{3}}$ の $t$ に関する積分は $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ です。

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

ステップ 8

簡約します。

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例