微分積分例

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \sec (t)$ とします。次に $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

積の法則を $2 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$4$ を $4 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$4$ を $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.6

積の法則を $4 \tan^{2} (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.7

$4$ を $3$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.8

${(\tan^{2} (t))}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.9

$64 \tan^{6} (t)$ を ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 \tan (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 \tan (t)$ を $8 \tan^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.2.1.2

$2 \tan (t)$ を $2 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 3.2.1.3

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

ステップ 3.2.1.4

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\sec (x)$ を $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 5.2

逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 5.3.2

まとめる。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 5.3.3

$\csc (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

積の法則を $\frac{1}{\cot (t)}$ に当てはめます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 5.3.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 5.3.5

$\cot (t)$ と $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 5.3.6

今日数因数で約分することで式 $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ を約分します。

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ステップ 5.3.6.1

$1$ を掛けます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 5.3.6.2

$\cot (t)$ を ${\cot (t)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

ステップ 5.3.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

ステップ 5.3.6.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

ステップ 5.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

ステップ 6

$- \csc (t)$ の微分係数が $\csc (t) \cot (t)$ なので、 $\csc (t) \cot (t)$ の積分は $- \csc (t)$ です。

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

簡約します。

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

ステップ 7.2

$\frac{1}{4}$ と $\csc (t)$ をまとめます。

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

ステップ 8

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

交点 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ は $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ です。

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

ステップ 9.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

ステップ 9.1.3

まとめる。

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

ステップ 9.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{x}{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.3

簡約します。

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ステップ 9.1.5.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.3.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.3.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.4

$\frac{x + 2}{2}$ に $\frac{x - 2}{2}$ をかけます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.5

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.6

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ に書き換えます。

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ステップ 9.1.5.6.1

$(x + 2) (x - 2)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.6.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.6.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.7

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

ステップ 9.1.5.8

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

ステップ 9.1.6

$2$ と $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

ステップ 9.1.7

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.1.7.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ を約分します。

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ステップ 9.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

ステップ 9.1.7.1.2

式を書き換えます。

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

ステップ 9.1.7.2

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

ステップ 9.1.8

$\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ に $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ をかけます。

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.1.9.1

$\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ に $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ をかけます。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.2

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.3

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.6

${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ を $(x + 2) (x - 2)$ に書き換えます。

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ステップ 9.1.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ を ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

ステップ 9.1.9.6.5

簡約します。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

ステップ 9.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

ステップ 9.3

$\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

ステップ 9.4

$4$ を $(x + 2) (x - 2)$ の左に移動させます。

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$

微分積分 例

微分積分例