微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sin (t)$ とします。次に $d x = 3 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ を ${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.2.1

$3 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$\int {(3 \sin (t))}^{3} d t$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$3$ を $3 \sin (t)$ で因数分解します。

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} d t$

ステップ 2.2.2.2

積の法則を $3 (\sin (t))$ に当てはめます。

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) d t$

ステップ 2.2.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\int 27 \sin^{3} (t) d t$

ステップ 3

$27$ は $t$ に対して定数なので、 $27$ を積分の外に移動させます。

$27 \int \sin^{3} (t) d t$

ステップ 4

$\sin^{2} (t)$ を因数分解します。

$27 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (t)$ を $1 - \cos^{2} (t)$ に書き換えます。

$27 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

ステップ 6

$u = \cos (t)$ とします。次に $d u = - \sin (t) d t$ すると、 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 6.1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$27 \int - 1 + u^{2} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$27 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$27 (- u + C + \int u^{2} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$27 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$27 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

ステップ 10.2

簡約します。

$27 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u$ のすべての発生を $\cos (t)$ で置き換えます。

$27 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

ステップ 11.2

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$27 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x}{3})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ です。

$27 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$27 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{3}$ です。

$27 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$27 (- \sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.5

公分母の分子をまとめます。

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.7

公分母の分子をまとめます。

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.8

$\frac{3 + x}{3}$ に $\frac{3 - x}{3}$ をかけます。

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.9

$3$ に $3$ をかけます。

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.10

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 12.1.10.1

$(3 + x) (3 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.10.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.10.3

分数 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$27 (- \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$27 (- (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.1.12

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ をまとめます。

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 12.2

$\frac{1}{3}$ と $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))$ をまとめます。

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3}) + C$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

ステップ 12.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.4.1

$- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$27 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

ステップ 12.4.2

$3$ を $27$ で因数分解します。

$3 (9) \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

ステップ 12.4.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot 9 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

ステップ 12.4.4

式を書き換えます。

$9 (- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

ステップ 12.5

$- 1$ に $9$ をかけます。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

ステップ 12.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.6.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 (9) \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

ステップ 12.6.2

共通因数を約分します。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 \cdot 9 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

ステップ 12.6.3

式を書き換えます。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

微分積分 例

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