微分積分例

$\int \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x} - 6 e^{- 2 x} + 9 d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{6}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$6 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 9

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $- 6$ を積分の外に移動させます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

ステップ 10

$u = - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 10.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 9 d x$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 9 d x$

ステップ 11.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

ステップ 12

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u) + \int 9 d x$

ステップ 13

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 9 d x$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{6}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

ステップ 15.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

ステップ 15.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

ステップ 15.2.2.2

共通因数を約分します。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

ステップ 15.2.2.3

式を書き換えます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

ステップ 15.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 \int e^{u} d u + \int 9 d x$

ステップ 16

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + \int 9 d x$

ステップ 17

定数の法則を当てはめます。

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + 9 x + C$

ステップ 18

簡約します。

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{u} + 9 x + C$

ステップ 19

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$

ステップ 20

項を並べ替えます。

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$

微分積分 例

微分積分例