微分積分例

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{3} + x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{3} + x}$

ステップ 1.1.1.1.1.2

$- 5$ を $- 1$ プラス $- 4$ に書き換える

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{3} + x}$

ステップ 1.1.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

ステップ 1.1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

ステップ 1.1.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{3} + x}$

ステップ 1.1.1.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{3} + x}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $x^{3} + x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.2.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x^{2} + 1)$ です。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.1.4.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2.2

$(2 x - 1) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$(2 x - 1) (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 1) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5.2

分配則を当てはめます。

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5.3

分配則を当てはめます。

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.2

$- 4 x$ から $x$ を引きます。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.1.2

$A (x^{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.3

$A$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.4

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.4.2

$(B x + C) (x)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

ステップ 1.1.7.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.7.6.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

ステップ 1.1.7.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

ステップ 1.1.8

$A$ を移動させます。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 5 = C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式を $C = - 5$ として書き換えます。

$C = - 5$

$2 = A + B$

$2 = A$

ステップ 1.3.2

方程式を $A = 2$ として書き換えます。

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.3.1

$2 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$2 = (2) + B$

$A = 2$

$C = - 5$

ステップ 1.3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

括弧を削除します。

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

ステップ 1.3.4

$2 = 2 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.4.1

方程式を $2 + B = 2$ として書き換えます。

$2 + B = 2$

$A = 2$

$C = - 5$

ステップ 1.3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$B = 2 - 2$

$A = 2$

$C = - 5$

ステップ 1.3.4.2.2

$2$ から $2$ を引きます。

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

ステップ 1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = 0 A = 2 C = - 5$

ステップ 1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = 0, A = 2, C = - 5$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{x} + \frac{0 x - 5}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

括弧を削除します。

$\frac{2}{x} + \frac{(0) \cdot x - 5}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$5$ を $0 \cdot x - 5$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

$5$ を $0 \cdot x$ で因数分解します。

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) - 5}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2.1.2

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2.1.3

$5$ を $5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x - 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2.2

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 - 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{x} + \frac{5 \cdot - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{x} + \frac{- 5}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| x |) + C) - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7.2

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 7.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 (\arctan (x) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$2 \ln (| x |) - 5 \arctan (x) + C$

微分積分 例

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