微分積分例

$\int \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x - 3} d x$

ステップ 1

$2 x^{2} - 3 x + 1$ を $3 x - 3$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$3$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

ステップ 1.2

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{2 x}{3}$
	$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

ステップ 1.7

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					-	$x$	+	$1$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$
								$0$

ステップ 1.11

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$\int \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2 x}{3} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

ステップ 3

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \int x d x + \int - \frac{1}{3} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{3} d x$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{3} x + C$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

ステップ 6.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

ステップ 6.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

ステップ 6.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

微分積分 例

微分積分例