微分積分例

$\int \frac{2}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

ステップ 2

$7$ を $16$ プラス $- 9$ に書き換える

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 9 - 6 x - x^{2}}} d x$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 6 x + x^{2})}} d x$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot 3 \cdot x$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + x^{2})}} d x$

ステップ 3.4

$a = 3$ と $b = x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - {(3 + x)}^{2}}} d x$

ステップ 4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(3 + x)}^{2}}} d x$

ステップ 5

$u = 3 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 3 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$3 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 + x]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $3 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 5.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (\frac{u}{4})$ である

$2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

ステップ 7

$2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ を $2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ に書き換えます。

$2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $3 + x$ で置き換えます。

$2 \arcsin (\frac{1}{4} (3 + x)) + C$

微分積分 例

微分積分例