微分積分例

$\int \frac{3 u - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$3$ を $3 u - 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$3$ を $3 u$ で因数分解します。

$\frac{3 (u) - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (u) + 3 (- 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$3$ を $3 (u) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{C u + D}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ です。

$\frac{3 (u - 1) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.5

${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (u - 1) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.5.2

$3 (u - 1)$ を $1$ で割ります。

$3 (u - 1) = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.6

分配則を当てはめます。

$3 u + 3 \cdot - 1 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 u - 3 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$3 u - 3 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.8.1.2

$A u + B$ を $1$ で割ります。

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.8.2

${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ と $u^{2} - 2 u + 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.2.1

$u^{2} - 2 u + 6$ を $(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ で因数分解します。

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.1.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.2.2.1

$1$ を掛けます。

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{(u^{2} - 2 u + 6) \cdot 1}$

ステップ 1.1.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{(u^{2} - 2 u + 6) \cdot 1}$

ステップ 1.1.8.2.2.3

式を書き換えます。

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)}{1}$

ステップ 1.1.8.2.2.4

$(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$ を $1$ で割ります。

$3 u - 3 = A u + B + (C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$

ステップ 1.1.8.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$ を展開します。

$3 u - 3 = A u + B + C u \cdot u^{2} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1

指数を足して $u$ に $u^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1.1

$u^{2}$ を移動させます。

$3 u - 3 = A u + B + C (u^{2} u) + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.1.2

$u^{2}$ に $u$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1.2.1

$u$ を $1$ 乗します。

$3 u - 3 = A u + B + C (u^{2} u) + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 u - 3 = A u + B + C u^{2 + 1} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u \cdot u + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.3

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.3.1

$u$ を移動させます。

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C (u \cdot u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.3.2

$u$ に $u$ をかけます。

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.4

$6$ を $C u$ の左に移動させます。

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 \cdot (C u) + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + D \cdot 6$

ステップ 1.1.8.4.6

$6$ を $D$ の左に移動させます。

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + 6 D$

ステップ 1.1.9

式を簡約します。

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ステップ 1.1.9.1

$B$ を移動させます。

$3 u - 3 = A u + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + B + 6 D$

ステップ 1.1.9.2

$6 C u$ を移動させます。

$3 u - 3 = A u + C u^{3} - 2 C u^{2} + D u^{2} + 6 C u - 2 D u + B + 6 D$

ステップ 1.1.9.3

$A u$ を移動させます。

$3 u - 3 = C u^{3} - 2 C u^{2} + D u^{2} + A u + 6 C u - 2 D u + B + 6 D$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $u^{3}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $u^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 2 C + D$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $u$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = A + 6 C - 2 D$

ステップ 1.2.4

式の両辺から $u$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.2.5

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = C$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = C$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$0 = - 2 C + D$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$0 = - 2 \cdot 0 + D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$- 2 \cdot 0 + D$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 = 0 + D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$0$ と $D$ をたし算します。

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.2.3

$3 = A + 6 C - 2 D$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$3 = A + 6 (0) - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

$A + 6 (0) - 2 D$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1

$6$ に $0$ をかけます。

$3 = A + 0 - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.2.4.1.2

$A$ と $0$ をたし算します。

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.3

方程式を $D = 0$ として書き換えます。

$D = 0$

$3 = A - 2 D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.4

各方程式の $D$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$3 = A - 2 D$ の $D$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$3 = A - 2 \cdot 0$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1

$A - 2 \cdot 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$3 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$A$ と $0$ をたし算します。

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

ステップ 1.3.4.3

$- 3 = B + 6 D$ の $D$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$- 3 = B + 6 (0)$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.4

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.4.4.1

$B + 6 (0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.1.1

$6$ に $0$ をかけます。

$- 3 = B + 0$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.4.1.2

$B$ と $0$ をたし算します。

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.5

方程式を $B = - 3$ として書き換えます。

$B = - 3$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.6

方程式を $A = 3$ として書き換えます。

$A = 3$

$B = - 3$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.7

すべての解をまとめます。

$A = 3, B = - 3, D = 0, C = 0$

ステップ 1.4

$\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{C u + D}{u^{2} - 2 u + 6}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、および $D$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{3 u - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0 u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$3$ を $3 \cdot u - 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$3$ を $3 \cdot u$ で因数分解します。

$\frac{3 (u) - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.5.1.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (u) + 3 (- 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.5.1.3

$3$ を $3 (u) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$0$ に $u$ をかけます。

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0 + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.5.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0}{u^{2} - 2 u + 6}$

ステップ 1.5.3

$0$ を $u^{2} - 2 u + 6$ で割ります。

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + 0$

ステップ 1.5.4

式から0を削除します。

$\int \frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

ステップ 2

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{u - 1}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

ステップ 3

$u_{1} = u^{2} - 2 u + 6$ とします。次に $d u_{1} = (2 u - 2) d u$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = (u - 1) d u$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = u^{2} - 2 u + 6$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d u}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$u^{2} - 2 u + 6$ を微分します。

$\frac{d}{d u} [u^{2} - 2 u + 6]$

ステップ 3.1.2

微分します。

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ステップ 3.1.2.1

総和則では、 $u^{2} - 2 u + 6$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$ です。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d u} [- 2 u]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $- 2 u$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d u} [u]$ です。

$2 u - 2 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [6]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [6]$

ステップ 3.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 u - 2 + \frac{d}{d u} [6]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$6$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$2 u - 2 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$2 u - 2$ と $0$ をたし算します。

$2 u - 2$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 4.2

$2$ を ${u_{1}}^{2}$ の左に移動させます。

$3 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 6.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

ステップ 6.2.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

ステップ 6.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

ステップ 7

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$\frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ を $\frac{3}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + C$

ステップ 8.2

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{u_{1}}$ をかけます。

$- \frac{3}{2 u_{1}} + C$

ステップ 9

$u_{1}$ のすべての発生を $u^{2} - 2 u + 6$ で置き換えます。

$- \frac{3}{2 (u^{2} - 2 u + 6)} + C$

微分積分 例

微分積分例