微分積分例

$\int \frac{2 x + 4}{x^{3} - 2 x^{2}} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$2$ を $2 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 4}{x^{3} - 2 x^{2}}$

ステップ 1.1.1.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2}}$

ステップ 1.1.1.1.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

$x^{2}$ を $x^{3} - 2 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{x^{2} x - 2 x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x^{2}$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{x^{2} (x - 2)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 2}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x^{2} (x - 2)$ です。

$\frac{2 (x + 2) (x^{2} (x - 2))}{x^{2} (x - 2)} = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 2) (x^{2} (x - 2))}{x^{2} (x - 2)} = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.5

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.5.2

$2 (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$2 (x + 2) = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.6

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.7

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.1.2

$A (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$2 x + 4 = A (x - 2) + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.2

分配則を当てはめます。

$2 x + 4 = A x + A \cdot - 2 + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.3

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$2 x + 4 = A x - 2 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1

$x$ を $B (x^{2} (x - 2))$ で因数分解します。

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{x (B (x (x - 2)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{x (B (x (x - 2)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{x (B (x (x - 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4.2.3

共通因数を約分します。

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{x (B (x (x - 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4.2.4

式を書き換えます。

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{B (x (x - 2))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4.2.5

$B (x (x - 2))$ を $1$ で割ります。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B (x (x - 2)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.5

分配則を当てはめます。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.6

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.7

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.8

分配則を当てはめます。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.10

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.10.1

共通因数を約分します。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.10.2

$(C) (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x^{2})$

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2}$

ステップ 1.1.9

式を簡約します。

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ステップ 1.1.9.1

$B$ を移動させます。

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2}$

ステップ 1.1.9.2

$- 2 A$ を移動させます。

$2 x + 4 = A x + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} - 2 A$

ステップ 1.1.9.3

$- 2 x B$ を移動させます。

$2 x + 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B - 2 A$

ステップ 1.1.9.4

$A x$ を移動させます。

$2 x + 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 2 x B - 2 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B + C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A - 2 B$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = - 2 A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$4 = - 2 A$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$4 = - 2 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4 = - 2 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 2 A = 4$ として書き換えます。

$- 2 A = 4$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

ステップ 1.3.1.2

$- 2 A = 4$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$- 2 A = 4$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

ステップ 1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

ステップ 1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.3.1

$4$ を $- 2$ で割ります。

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2 = A - 2 B$ の $A$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

$2 = (- 2) - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$2 = - 2 - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = - 2 - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = - 2 - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.3

$2 = - 2 - 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $- 2 - 2 B = 2$ として書き換えます。

$- 2 - 2 B = 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- 2 B = 2 + 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.3.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$- 2 B = 4$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$- 2 B = 4$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.3.3

$- 2 B = 4$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1

$- 2 B = 4$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.1

$4$ を $- 2$ で割ります。

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$0 = B + C$ の $B$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

$0 = (- 2) + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

括弧を削除します。

$0 = - 2 + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = - 2 + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = - 2 + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

ステップ 1.3.5

$0 = - 2 + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

方程式を $- 2 + C = 0$ として書き換えます。

$- 2 + C = 0$

$B = - 2$

$A = - 2$

ステップ 1.3.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$C = 2$

$B = - 2$

$A = - 2$

$C = 2$

$B = - 2$

$A = - 2$

ステップ 1.3.6

連立方程式を解きます。

$C = 2 B = - 2 A = - 2$

ステップ 1.3.7

すべての解をまとめます。

$C = 2, B = - 2, A = - 2$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x - 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2}{x} + \frac{2}{x - 2}$

ステップ 1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 5.2

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 5.3

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 5.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- 2 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (- x^{- 1} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 2} d x$

ステップ 12

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 12.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 12.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 12.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 12.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 13

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 14

簡約します。

$\frac{2}{x} - 2 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{2}{x} - 2 \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 2 |) + C$

微分積分 例

微分積分例