微分積分例

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

ステップ 1

$u = x (x - 1)$ とします。次に $d u = (2 x - 1) d x$ すると、 $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x (x - 1)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x (x - 1)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + (x - 1) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$x + x - 1$

ステップ 1.1.3.6.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x - 1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $x (x - 1)$ で置き換えます。

$\ln (| x (x - 1) |) + C$

微分積分 例

微分積分例