微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 1

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 1.2

$u = \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4

$u = \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{- 2} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- u^{- 1}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ および $\frac{\sqrt{2}}{2}$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$(- 1^{- 1}) + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 1 \cdot 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

ステップ 4.2.3

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 5.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 5.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 5.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.6.4.2

式を書き換えます。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 5.2.6.5

指数を求めます。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- 1 + \sqrt{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 1 + \sqrt{2}$

10進法形式：

$0.41421356 \dots$

微分積分 例

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