微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) - \cos (x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

ステップ 2

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \cos (x) d x$

ステップ 4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

代入し簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{5 π}{4}$ および $\frac{π}{4}$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$(- \cos (\frac{5 π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

ステップ 5.1.2

$\frac{5 π}{4}$ および $\frac{π}{4}$ で $\sin (x)$ の値を求めます。

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 5.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- - \cos (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.3.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \sin (\frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.3.4.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3.6

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3.7

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.7.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 5.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 5.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

ステップ 5.3.7.2.4

$- \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

ステップ 5.3.8

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

ステップ 5.3.8.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

ステップ 5.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

ステップ 5.3.10

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

ステップ 5.3.11

$\sqrt{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.3.12

$\sqrt{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2}$

ステップ 5.3.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

ステップ 5.3.14

$\sqrt{2} \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3.15

$2 \sqrt{2}$ と $2 \sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$2$ を $4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 6.2.4

$2 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$2 \sqrt{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \sqrt{2}$

10進法形式：

$2.82842712 \dots$

微分積分 例

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