微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

ステップ 1

換算公式を当てはめます。

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

ステップ 2

$\cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sin (x) |)$ です。

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{4}$ で $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 3.1.2

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{4}$ で $\ln (| \sin (x) |)$ の値を求めます。

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.1.3.2

$- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

ステップ 3.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

ステップ 3.1.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

ステップ 3.2.2

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

ステップ 3.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

ステップ 3.2.4

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

ステップ 3.2.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

ステップ 3.2.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

ステップ 3.2.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

ステップ 3.2.8

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

ステップ 3.2.9

$0$ から $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ を引きます。

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

ステップ 3.2.10

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.10.1

$2$ を $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

ステップ 3.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

ステップ 3.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

ステップ 3.2.10.2.4

$- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

ステップ 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ は約 $0.70710678$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

ステップ 3.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

ステップ 3.3.4

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

10進法形式：

$0.15342640 \dots$

微分積分 例

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