微分積分例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) - \cos (x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

ステップ 2

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

ステップ 2.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

ステップ 3

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

ステップ 5

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 7

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$π$ および $\frac{π}{3}$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 8.2

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{6}$ で $\sin (x)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 8.3

括弧を削除します。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 9.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 9.3

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{2})$

ステップ 9.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 9.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{2 - 1}{2}$

ステップ 9.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

ステップ 10.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

ステップ 10.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- - 1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

ステップ 10.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

ステップ 10.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

ステップ 10.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 1}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 10.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 10.8

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ を掛けます。

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ステップ 10.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

ステップ 10.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

ステップ 10.9

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 10.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 10.10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4}$

ステップ 10.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 - 2}{4}$

ステップ 10.12

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

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