微分積分例

$\int t e^{- s t} d t$

ステップ 1

$u = t$ と $d v = e^{- s t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t (- \frac{e^{- s t}}{s}) - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

ステップ 2

$t$ と $\frac{e^{- s t}}{s}$ をまとめます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

ステップ 3

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - - \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + 1 \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

ステップ 4.2

$\int \frac{e^{- s t}}{s} d t$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{s}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{s}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int e^{- s t} d t$

ステップ 6

$u = - s t$ とします。次に $d u = - s d t$ すると、 $- \frac{1}{s} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = - s t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- s t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- s t]$

ステップ 6.1.2

$- s$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- s t$ の微分係数は $- s \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- s \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- s \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- s$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

ステップ 7

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ステップ 7.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{1}{s} d u$

ステップ 7.2

$\frac{1}{s}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - \frac{e^{u}}{s} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- \int \frac{e^{u}}{s} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{s}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{s}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- (\frac{1}{s} \int e^{u} d u))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{s}$ に $\frac{1}{s}$ をかけます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s \cdot s} \int e^{u} d u$

ステップ 10.2

$s$ を $1$ 乗します。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s} \int e^{u} d u$

ステップ 10.3

$s$ を $1$ 乗します。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s^{1}} \int e^{u} d u$

ステップ 10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1 + 1}} \int e^{u} d u$

ステップ 10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} \int e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$

ステップ 12

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$ を $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $- s t$ で置き換えます。

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}} + C$

微分積分 例

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