微分積分例

$\int \csc^{4} (3 x) d x$

ステップ 1

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\csc^{4} (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\csc^{4} (u)}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \csc^{4} (u) d u$

ステップ 4

換算公式を当てはめます。

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

ステップ 5

$- \cot (u)$ の微分係数が $\csc^{2} (u)$ なので、 $\csc^{2} (u)$ の積分は $- \cot (u)$ です。

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

ステップ 6

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ を $\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3} - \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3}) + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3})$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3}$ をかけます。

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

ステップ 8.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

ステップ 8.3

$\frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3})$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2 \cot (3 x)}{3}$ をかけます。

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} - \frac{2 \cot (3 x)}{3 \cdot 3} + C$

ステップ 8.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} - \frac{2 \cot (3 x)}{9} + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{9} \cot (3 x) \csc^{2} (3 x) - \frac{2}{9} \cot (3 x) + C$

微分積分 例

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