微分積分例

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

ステップ 1

$u = \frac{x}{4}$ とします。次に $d u = \frac{1}{4} d x$ すると、 $4 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{x}{4}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{x}{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{4}$ で割ります。

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

ステップ 2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

ステップ 2.3

$4$ を $\csc^{4} (u)$ の左に移動させます。

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

ステップ 3

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

ステップ 4

換算公式を当てはめます。

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

ステップ 5

$- \cot (u)$ の微分係数が $\csc^{2} (u)$ なので、 $\csc^{2} (u)$ の積分は $- \cot (u)$ です。

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

ステップ 6

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ を $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ に書き換えます。

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

ステップ 8.2

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

ステップ 8.2.2

$- 4$ と $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

ステップ 8.3

$4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

ステップ 8.3.2

$- 4$ と $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

ステップ 8.3.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

ステップ 8.4

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

ステップ 8.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$

微分積分 例

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