微分積分例

$\int e^{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 1

$u = x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

$\int 2 u e^{u} d u$

ステップ 2

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int u e^{u} d u$

ステップ 3

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 5

簡約します。

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 7.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例