微分積分例

$\int \frac{l}{n π} \cdot \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

ステップ 1

$\frac{l}{n π}$ と $\cos (\frac{n π x}{l})$ をまとめます。

$\int \frac{l \cos (\frac{n π x}{l})}{n π} d x$

ステップ 2

$\frac{l}{n π}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{l}{n π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{l}{n π} \int \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

ステップ 3

$u = \frac{n π x}{l}$ とします。次に $d u = \frac{π n}{l} d x$ すると、 $\frac{l}{π n} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \frac{n π x}{l}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{n π x}{l}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{n π x}{l}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{n π}{l}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{n π x}{l}$ の微分係数は $\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{n π}{l} \cdot 1$

ステップ 3.1.4

式を簡約します。

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ステップ 3.1.4.1

$\frac{n π}{l}$ に $1$ をかけます。

$\frac{n π}{l}$

ステップ 3.1.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{π n}{l}$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π n}{l}} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{π n}{l}$ で割ります。

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) (1 \frac{l}{π n}) d u$

ステップ 4.2

$\frac{l}{π n}$ に $1$ をかけます。

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{l}{π n} d u$

ステップ 4.3

$\cos (u)$ と $\frac{l}{π n}$ をまとめます。

$\frac{l}{n π} \int \frac{\cos (u) l}{π n} d u$

ステップ 5

$\frac{l}{π n}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{l}{π n}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{l}{n π} (\frac{l}{π n} \int \cos (u) d u)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{l}{π n}$ に $\frac{l}{n π}$ をかけます。

$\frac{l \cdot l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.2

$l$ を $1$ 乗します。

$\frac{l^{1} l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.3

$l$ を $1$ 乗します。

$\frac{l^{1} l^{1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{l^{1 + 1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{l^{2}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.6

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π))} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.7

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π^{1}))} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{l^{2}}{n (n π^{1 + 1})} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{l^{2}}{n (n π^{2})} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.10

$n$ を $1$ 乗します。

$\frac{l^{2}}{n^{1} n π^{2}} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.11

$n$ を $1$ 乗します。

$\frac{l^{2}}{n^{1} n^{1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{l^{2}}{n^{1 + 1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

ステップ 6.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \int \cos (u) d u$

ステップ 7

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} (\sin (u) + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \sin (u) + C$

ステップ 8.2

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}}$ と $\sin (u)$ をまとめます。

$\frac{l^{2} \sin (u)}{n^{2} π^{2}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $\frac{n π x}{l}$ で置き換えます。

$\frac{l^{2} \sin (\frac{n π x}{l})}{n^{2} π^{2}} + C$

微分積分 例

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