微分積分例

$\int \frac{\ln (x^{2})}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$ を $\frac{2 \ln (x)}{x^{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \int \ln (x) x^{- 2} d x$

ステップ 4

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

ステップ 5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

ステップ 5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

ステップ 5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

ステップ 5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 7.1.2

$\int \frac{1}{x^{2}} d x$ に $1$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 7.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x)$

ステップ 7.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x)$

ステップ 7.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$

ステップ 9

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$ を $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$ に書き換えます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$

微分積分 例

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