微分積分例

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

ステップ 1

$4 π$ は $x$ に対して定数なので、 $4 π$ を積分の外に移動させます。

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

ステップ 5

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

代入し簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{π}{3}$ および $- \frac{π}{3}$ で $x$ の値を求めます。

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

ステップ 6.1.2

$\frac{π}{3}$ および $- \frac{π}{3}$ で $\sin (x)$ の値を求めます。

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

公分母の分子をまとめます。

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

ステップ 6.1.3.2

$π$ と $π$ をたし算します。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

ステップ 6.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

ステップ 6.3.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

ステップ 6.3.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

ステップ 6.3.4

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

ステップ 6.3.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

ステップ 6.3.5

公分母の分子をまとめます。

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

ステップ 6.3.6

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

ステップ 6.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.7.1

共通因数を約分します。

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

ステップ 6.3.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

ステップ 6.3.8

分配則を当てはめます。

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

ステップ 6.3.9

$4 π \frac{2 π}{3}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.9.1

$\frac{2 π}{3}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

ステップ 6.3.9.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

ステップ 6.3.9.3

$\frac{8 π}{3}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

ステップ 6.3.9.4

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

ステップ 6.3.9.5

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

ステップ 6.3.9.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

ステップ 6.3.9.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

ステップ 6.3.10

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

10進法形式：

$4.55335269 \dots$

微分積分 例

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