微分積分例

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} (x) - (\sin (x)) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

ステップ 2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

ステップ 4

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

代入し簡約します。

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ステップ 5.1.1

$π$ および $\frac{π}{2}$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

ステップ 5.1.2

$π$ および $\frac{π}{2}$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.1.3

$\frac{1}{2}$ と $π^{2}$ をまとめます。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

ステップ 5.2.2

$- \cos (π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

ステップ 5.2.4

$\cos (π)$ に $1$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{π}{2}$ に当てはめます。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

ステップ 5.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

ステップ 5.3.3

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.1

$\frac{π^{2}}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

ステップ 5.3.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 5.3.4

$\frac{π^{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 5.3.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.5.1

$\frac{π^{2}}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 5.3.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 5.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 5.3.7

$π^{2} \cdot 4$ から $π^{2}$ を引きます。

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ステップ 5.3.7.1

$π^{2}$ と $4$ を並べ替えます。

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 5.3.7.2

$4 \cdot π^{2}$ から $π^{2}$ を引きます。

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

ステップ 6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

ステップ 6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

10進法形式：

$2.70110165 \dots$

微分積分 例

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