微分積分例

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{3}{2} y - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{3}{2} y - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{3}{2} y - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $\frac{3}{2} y - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{3}{2} y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{3}{2} y$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

ステップ 2.2

$\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

ステップ 2.3

まとめる。

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

ステップ 2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

ステップ 2.5.2

式を書き換えます。

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

ステップ 2.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

ステップ 6

$(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

ステップ 6.2

$u$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

ステップ 6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

ステップ 6.4

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

ステップ 6.5

$- 2 u^{- 1}$ と $3 y u^{- 2}$ を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

ステップ 8

$3 y$ は $u$ に対して定数なので、 $3 y$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

ステップ 10

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

ステップ 11

$u^{- 1}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

ステップ 12

簡約します。

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $\frac{3}{2} y - x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$

微分積分 例

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