微分積分例

$\int \frac{x - e^{3 \arctan (x)}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = \arctan (x)$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ すると、 $- d u_{1} = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = \arctan (x)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\arctan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \tan (u_{1}) - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 3

$\tan (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ です。

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 4

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{3 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 5

$u_{2} = 3 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 3 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{2} = 3 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$3 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [3 u_{1}]$

ステップ 5.1.2

$3$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $3 u_{1}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 6

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 8

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\ln (| \sec (u_{1}) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{1}$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 10.2

$u_{2}$ のすべての発生を $3 u_{1}$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 u_{1}} + C$

ステップ 10.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 \arctan (x)} + C$

微分積分 例

微分積分例