微分積分例

$\int \sqrt{t} (t^{2} + t - 1) d t$

ステップ 1

$u = t^{2} + t - 1$ と $d v = \sqrt{t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(t^{2} + t - 1) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 1) d t$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 1) d t$

ステップ 2.2

$\frac{2}{3}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t + 1) d t$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

ステップ 3.2

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ と $2$ を並べ替えます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

ステップ 3.3

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ と $1$ を並べ替えます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.4

$2$ と $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.6

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ と $t$ をまとめます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}} t}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.7

$t$ を $1$ 乗します。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (t^{\frac{3}{2}} t^{1})}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.9

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.10

公分母の分子をまとめます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.11

$3$ と $2$ をたし算します。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 3.12

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

ステップ 5

$\frac{4}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{4}{3}$ を積分の外に移動させます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

ステップ 6

べき乗則では、 $t^{\frac{5}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ です。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

ステップ 7

$\frac{2}{7}$ と $t^{\frac{7}{2}}$ をまとめます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

ステップ 8

$\frac{2}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

ステップ 9

べき乗則では、 $t^{\frac{3}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ です。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{2}{5}$ と $t^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

ステップ 10.2

簡約します。

$\frac{t^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$2$ を $t^{\frac{7}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 10.3.2

$\frac{4}{3}$ に $\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7}$ をかけます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 10.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 10.3.4

$3$ に $7$ をかけます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 10.3.5

$\frac{2}{3}$ に $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ をかけます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

ステップ 10.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

ステップ 10.3.7

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

ステップ 10.3.8

$- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 10.3.9

$- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 10.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 10.3.11

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} t^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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