微分積分例

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 1

分数 $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 3

$u = - 1 - v^{2}$ とします。次に $d u = - 2 v d v$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = v d v$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - 1 - v^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d v}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 1 - v^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

ステップ 3.1.2

微分します。

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ステップ 3.1.2.1

総和則では、 $- 1 - v^{2}$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ です。

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

ステップ 3.1.2.2

$- 1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 1$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $- v^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 v)$

ステップ 3.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 v$

ステップ 3.1.4

$0$ から $2 v$ を引きます。

$- 2 v$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 4.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 4.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

ステップ 8

$- 1$ を $- 1 - v^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 8.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

ステップ 8.2

$- 1$ を $- 1 \cdot 1$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

ステップ 8.3

$- 1$ を $- v^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

ステップ 8.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (v^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1 (1 + v^{2})$ を $- (1 + v^{2})$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

ステップ 9.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

ステップ 9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

ステップ 10

$- 1$ は $v$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

ステップ 11

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

ステップ 12

$\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ の $v$ に関する積分は $\arctan (v) + C$ です。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

ステップ 13

簡約します。

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $- 1 - v^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$

微分積分 例

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