微分積分例

$\int \sqrt{4 - 5 x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t)$ とします。次に $d x = \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.2.6.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{5})}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

積の法則を $\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{5}$ に当てはめます。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{{(2 \sqrt{5} \sin (t))}^{2}}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.4.2

積の法則を $2 \sqrt{5} \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.4.3

積の法則を $2 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 {\sqrt{5}}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.5.2.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{1} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.5.2.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5 \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.5.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.6

$5$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{20 \sin^{2} (t)}{25}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.7

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.7.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 + 5 (- 1) \frac{20 \sin^{2} (t)}{25}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.7.2

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 + 5 \cdot - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5 \cdot 5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.7.3

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{4 + 5 \cdot - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5 \cdot 5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.7.4

式を書き換えます。

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.8

$20$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.8.1

$5$ を $20 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.8.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5 (1)}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5 \cdot 1}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.8.2.3

式を書き換えます。

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{4 \sin^{2} (t)}{1}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.8.2.4

$4 \sin^{2} (t)$ を $1$ で割ります。

$\int \sqrt{4 - 1 (4 \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.1.9

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 4 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ を ${(2 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int 2 \cos (t) \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{2 \sqrt{5} \cos (t) \cdot 2}{5} \cos (t) d t$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos (t)}{5} \cos (t) d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{4 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos (t) \cos (t)}{5} d t$

ステップ 2.2.4

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{4 \sqrt{5} (\cos^{1} (t) \cos (t))}{5} d t$

ステップ 2.2.5

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{4 \sqrt{5} (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{5} d t$

ステップ 2.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{4 \sqrt{5} {\cos (t)}^{1 + 1}}{5} d t$

ステップ 2.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos^{2} (t)}{5} d t$

ステップ 3

$\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} \int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{10} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.3

$4$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2$ を $4 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{10} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 (5)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 12

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ で置き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14.2

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 14.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ で置き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))) + C$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

ステップ 15.3

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ と $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

ステップ 15.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

$2$ を $2 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 (\sqrt{5})}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

ステップ 15.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

ステップ 15.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})) + C$

ステップ 15.5

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ と $\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{\sqrt{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{5} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5}}{2} x) + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5}}{2} x)) + C$

微分積分 例

微分積分例