微分積分例

$\int \frac{x + 2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \sin (t)$ とします。次に $d x = 2 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $2 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 4 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ を ${(2 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

$2 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\int 2 \sin (t) + 2 d t$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 \sin (t) d t + \int 2 d t$

ステップ 4

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

ステップ 5

$\sin (t)$ の $t$ に関する積分は $- \cos (t)$ です。

$2 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$2 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

ステップ 7

簡約します。

$- 2 \cos (t) + 2 t + C$

ステップ 8

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2})) + 2 \arcsin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + 2 \arcsin (\frac{1}{2} x) + C$

微分積分 例

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