微分積分例

$\int x^{- 6} \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 6}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (- \frac{1}{5 x^{5}}) - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{5 x^{5}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{5 x^{5}}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{x (5 x^{5})} d x$

ステップ 2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 (x^{1} x^{5})} d x$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{1 + 5}} d x$

ステップ 2.5

$1$ と $5$ をたし算します。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{6}} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - - \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + 1 \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

ステップ 4.2

$\int \frac{1}{5 x^{6}} d x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{6}} d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$x^{6}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

ステップ 6.2

${(x^{6})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{6 \cdot - 1} d x$

ステップ 6.2.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{- 6} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- 6}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ です。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$ を $- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{x^{5}}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{x^{5} \cdot 5}) + C$

ステップ 8.2.2

$5$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5 \cdot x^{5}}) + C$

ステップ 8.2.3

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5 x^{5}}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{5 (5 x^{5})} + C$

ステップ 8.2.4

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{25 x^{5}} + C$

微分積分 例

微分積分例