微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x$

ステップ 1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

ステップ 1.5

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

ステップ 4

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

ステップ 5

$\frac{2 π}{3}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)$

ステップ 6.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)$

ステップ 6.3

$\sin (\frac{2 π}{3})$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2}$ と $\sin (\frac{2 π}{3})$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{\sin (\frac{π}{3})}{2}$

ステップ 7.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$

ステップ 7.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

10進法形式：

$0.43301270 \dots$

微分積分 例

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