微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 3

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ をかけます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

ステップ 4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

ステップ 7

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 7.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 7.4

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 7.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 7.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 7.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{3}{4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

ステップ 9

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2

$(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.4

$\cos (u_{1})$ を移動させます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.5

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.6

$\cos (u_{1})$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.8

負をくくり出します。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.9

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.10

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

ステップ 9.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.13

$\cos (u_{1})$ から $\cos (u_{1})$ を引きます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.14

$0$ から $\cos^{2} (u_{1})$ を引きます。

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{3}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 12

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 13

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 15

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 16

定数の法則を当てはめます。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 17

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 17.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 17.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 17.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 17.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 17.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 17.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 17.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 17.6

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

ステップ 18

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

ステップ 19

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 20

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

ステップ 21

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

$π$ および $0$ で $u_{1}$ の値を求めます。

$\frac{3}{8} ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

ステップ 21.2

$π$ および $0$ で $u_{1}$ の値を求めます。

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

ステップ 21.3

$2 π$ および $0$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

ステップ 21.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.4.1

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

ステップ 21.4.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))))$

ステップ 22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)))$

ステップ 22.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)))$

ステップ 22.3

$\sin (2 π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \sin (2 π)))$

ステップ 22.4

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 π)$ をまとめます。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

ステップ 23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

ステップ 23.1.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

ステップ 23.1.2

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

ステップ 23.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} π)$

ステップ 23.3

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{8} (π - \frac{π}{2})$

ステップ 23.4

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{8} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 23.5

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{8} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 23.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 23.7

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3}{8} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 23.8

$2 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 23.9

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.9.1

$\frac{3}{8}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$\frac{3 π}{8 \cdot 2}$

ステップ 23.9.2

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 π}{16}$

ステップ 24

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 π}{16}$

10進法形式：

$0.58904862 \dots$

微分積分 例

微分積分例