微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

ステップ 1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

ステップ 2

$u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ とします。次に $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$6 - \cos (2 t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $6 - \cos (2 t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ です。

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

ステップ 2.1.2.2

$6$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \cos (2 t)$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ です。

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

ステップ 2.1.3.2

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 t$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 2.1.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 2.1.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 2.1.3.3

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 2.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

ステップ 2.1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

ステップ 2.1.3.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 2 \sin (2 t)$

ステップ 2.1.4

$0$ と $2 \sin (2 t)$ をたし算します。

$2 \sin (2 t)$

ステップ 2.2

$u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

ステップ 2.3.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 6 - 1$

ステップ 2.3.2

$6$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 5$

ステップ 2.4

$u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

ステップ 2.5.1.1.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

ステップ 2.5.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

ステップ 2.5.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.5.1.4

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 6 - - 1$

ステップ 2.5.1.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$u_{upper} = 6 + 1$

ステップ 2.5.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 7$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

ステップ 2.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 3.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5.3

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

ステップ 7

$7$ および $5$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

ステップ 8

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $7$ の間の距離は $7$ です。

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

ステップ 9.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$\ln (\frac{7}{5})$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\frac{7}{5})$

10進法形式：

$0.33647223 \dots$

微分積分 例

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