微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 6 x$ とします。次に $d u_{1} = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 6 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 1.2

$u_{1} = 6 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

ステップ 1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{1} = 6 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

ステップ 1.5

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

ステップ 2

$\sin^{3} (u_{1})$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{6}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$\sin^{2} (u_{1})$ を因数分解します。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (u_{1})$ を $1 - \cos^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = \cos (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\cos (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

ステップ 6.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1})$

ステップ 6.2

$u_{2} = \cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 6.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 6.4

$u_{2} = \cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 6.5

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 6.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

ステップ 10

$- u_{2}]_{1}^{0}$ と $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$0$ および $1$ で $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 11.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 11.2.3

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 11.2.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 11.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 11.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

ステップ 11.2.7

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

ステップ 11.2.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 11.2.9

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 11.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

ステップ 11.2.11

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.11.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

ステップ 11.2.11.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

ステップ 11.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

ステップ 11.2.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

ステップ 11.2.14

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

ステップ 11.2.15

$0$ と $\frac{2}{3}$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 11.2.16

$\frac{1}{6}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

ステップ 11.2.17

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{18}$

ステップ 11.2.18

$2$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.18.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{18}$

ステップ 11.2.18.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.18.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

ステップ 11.2.18.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

ステップ 11.2.18.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{9}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{9}$

10進法形式：

$0.\overline{1}$

微分積分 例

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