微分積分例

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ とします。次に $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

積の法則を $\frac{3 \tan (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

積の法則を $3 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9 \tan^{2} (t) + 9$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$9$ を $9 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.2.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.2.3

$9$ を $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.4

$9 \sec^{2} (t)$ を ${(3 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

積の法則を $\frac{3 \tan (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.2

積の法則を $3 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.3

$\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ を積として書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.4

$\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ に $\frac{1}{3 \sec (t)}$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.5

$3$ に $8$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.6

$27$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.6.1

$3$ を $27 \tan^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.6.2.1

$3$ を $24 \sec (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2.3.7

$\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ に $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.2.3.8

$3$ に $9$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.2.3.9

$2$ に $8$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.2.3.10

$\sec^{2} (t)$ と $\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.10.1

$\sec (t)$ を $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.2.3.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.10.2.1

$\sec (t)$ を $16 \sec (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

ステップ 2.2.2.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

ステップ 2.2.2.3.10.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

ステップ 3

$\frac{27}{16}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{27}{16}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 4

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 5

$\tan^{2} (t)$ を因数分解します。

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 8

$u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = \sec (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\sec (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

ステップ 8.1.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\sec (t) \tan (t)$

ステップ 8.2

$u = \sec (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sec (0)$

ステップ 8.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 8.4

$u = \sec (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

ステップ 8.5

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$u_{upper} = 2$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

ステップ 12

$- u]_{1}^{2}$ と $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ をまとめます。

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$2$ および $1$ で $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.3

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.4

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.5

$- 2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.7.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.7.2

$- 6$ と $8$ をたし算します。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

ステップ 13.2.9

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

ステップ 13.2.10

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

ステップ 13.2.11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 13.2.12

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 13.2.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

ステップ 13.2.14

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.14.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

ステップ 13.2.14.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

ステップ 13.2.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

ステップ 13.2.16

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

ステップ 13.2.17

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 13.2.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

ステップ 13.2.19

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

ステップ 13.2.20

$\frac{27}{16}$ に $\frac{4}{3}$ をかけます。

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

ステップ 13.2.21

$27$ に $4$ をかけます。

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

ステップ 13.2.22

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{108}{48}$

ステップ 13.2.23

$108$ と $48$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.23.1

$12$ を $108$ で因数分解します。

$\frac{12 (9)}{48}$

ステップ 13.2.23.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.23.2.1

$12$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

ステップ 13.2.23.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

ステップ 13.2.23.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{4}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{9}{4}$

10進法形式：

$2.25$

帯分数形：

$2 \frac{1}{4}$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例