微分積分例

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \cos (π x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{π}$ と $\sin (π x)$ をまとめます。

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\sin (π x)}{π}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{π}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

ステップ 4

$u = π x$ とします。次に $d u = π d x$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = π x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$π x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 4.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 4.2

$u = π x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = π \cdot 0$

ステップ 4.3

$π$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = π x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

ステップ 4.5

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{π}$ に $\frac{1}{π}$ をかけます。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

ステップ 7.2

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

ステップ 7.3

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

ステップ 8

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 9

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ および $0$ で $\frac{x \sin (π x)}{π}$ の値を求めます。

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 9.2

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{2}$ と $\sin (\frac{π}{2})$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.3

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ を積として書き換えます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.4

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ に $\frac{1}{π}$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.5

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.6

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.7

$- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 π}{2 π}$ を掛けます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.8

$- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ と $\frac{2 π}{2 π}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.11

$- 2$ と $\frac{1}{π^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.12

$π$ と $\frac{- 2}{π^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.13

$- 2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.14

$π$ と $π^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.14.1

$π$ を $- 2 π$ で因数分解します。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.14.2.1

$π$ を $π^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 9.3.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 10.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 10.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 10.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 10.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 10.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

ステップ 10.7

$- \frac{0}{π}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 10.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 π$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.8.1

$\frac{0}{π}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

ステップ 10.8.2

$π \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

ステップ 10.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

ステップ 10.10

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

ステップ 10.11

$1 - \frac{2}{π}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

ステップ 11.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

ステップ 11.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

ステップ 11.3

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\frac{π - 2}{π}$ に $\frac{1}{2 π}$ をかけます。

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

ステップ 11.3.2

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

ステップ 11.3.3

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

ステップ 11.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

ステップ 11.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

10進法形式：

$0.05783375 \dots$

微分積分 例

微分積分例