微分積分例

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 3

$u_{1} = 4 x$ とします。次に $d u_{1} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{1} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 3.2

$u_{1} = 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

ステップ 3.3

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

$u_{1} = 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

ステップ 3.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 4

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 6.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 7

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

ステップ 9

$u_{2} = 4 x$ とします。次に $d u_{2} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{2} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 9.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 9.2

$u_{2} = 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

ステップ 9.3

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 9.4

$u_{2} = 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

ステップ 9.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

ステップ 9.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 10

$\sin (u_{2})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 12.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 13

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{3 π}{4}$ および $0$ で $\sin (u_{1})$ の値を求めます。

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

ステップ 14.2

$\frac{3 π}{4}$ および $0$ で $- \cos (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

ステップ 14.3

括弧を削除します。

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

ステップ 15.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

ステップ 15.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

ステップ 15.4

$\sin (\frac{3 π}{4})$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

ステップ 15.5

$\frac{1}{16}$ と $\sin (\frac{3 π}{4})$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

ステップ 15.6

$\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 15.7

$\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

ステップ 15.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

ステップ 15.9

$16$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

ステップ 15.10

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

ステップ 15.10.2

式を書き換えます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

ステップ 15.11

$- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

ステップ 16.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

ステップ 16.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

ステップ 16.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

ステップ 16.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

ステップ 16.4.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

ステップ 16.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

ステップ 16.4.4

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

ステップ 16.4.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

ステップ 16.4.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

10進法形式：

$0.15088834 \dots$

微分積分 例

微分積分例