微分積分例

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} e^{x} d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (2 x) d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x)$

ステップ 3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} d x)$

ステップ 5

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ および $- 4$ で $x^{2} e^{x}$ の値を求めます。

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

ステップ 6.2

$- 1$ および $- 4$ で $x e^{x}$ の値を求めます。

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

ステップ 6.3

$- 1$ および $- 4$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

ステップ 6.4.2

$e^{- 1}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

ステップ 6.4.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$e^{- 1} - 1 \cdot 16 e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

ステップ 6.4.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e^{- 1} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

ステップ 7.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e} - 16 \frac{1}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

ステップ 7.1.3

$- 16$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{1}{e} + \frac{- 16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

ステップ 7.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

ステップ 7.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

ステップ 7.1.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 \frac{1}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

ステップ 7.1.5.3

$4$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

ステップ 7.1.5.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (\frac{1}{e} - e^{- 4}))$

ステップ 7.1.5.5

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} - - e^{- 4})$

ステップ 7.1.5.6

$- - e^{- 4}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.5.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + 1 e^{- 4})$

ステップ 7.1.5.6.2

$e^{- 4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + e^{- 4})$

ステップ 7.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 1 - 1}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

ステップ 7.1.7

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

ステップ 7.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} - \frac{2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

ステップ 7.1.9

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} - 2 (- \frac{2}{e}) - 2 \frac{4}{e^{4}}$

ステップ 7.1.10

簡約します。

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ステップ 7.1.10.1

$- 2 (- \frac{2}{e})$ を掛けます。

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ステップ 7.1.10.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + 2 \frac{2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

ステップ 7.1.10.1.2

$2$ と $\frac{2}{e}$ をまとめます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

ステップ 7.1.10.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

ステップ 7.1.10.2

$- 2 \frac{4}{e^{4}}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.10.2.1

$- 2$ と $\frac{4}{e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 2 \cdot 4}{e^{4}}$

ステップ 7.1.10.2.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 8}{e^{4}}$

ステップ 7.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - \frac{8}{e^{4}}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$- 2 e^{- 4} + \frac{1 + 4}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

ステップ 7.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

ステップ 7.4

$- 16$ から $8$ を引きます。

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

ステップ 7.5

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

ステップ 7.5.2

$- 2$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

ステップ 7.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

ステップ 7.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} - \frac{24}{e^{4}}$

ステップ 7.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 - 24}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

ステップ 7.7

$- 2$ から $24$ を引きます。

$\frac{- 26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

ステップ 7.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

10進法形式：

$1.36319059 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例