微分積分例

$\int_{2}^{e + 1} \frac{4}{x - 1} d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 2

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u = x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 - 1$

ステップ 2.3

$2$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e + 1 - 1$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = e + 0$

ステップ 2.5.2

$e$ と $0$ をたし算します。

$u_{upper} = e$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 \int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$4 (\ln (| u |)]_{1}^{e})$

ステップ 4

$e$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$4 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 5

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$4 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$4 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

ステップ 6.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$4 \ln (\frac{e}{1})$

ステップ 6.3

$e$ を $1$ で割ります。

$4 \ln (e)$

ステップ 6.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$4 \cdot 1$

ステップ 6.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例