微分積分例

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$10$ に $2$ をかけます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

ステップ 1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3

$\frac{5}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{5}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4.6.5

簡約します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.5.1

積の法則を $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ に当てはめます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.5.2

積の法則を $5 \sqrt{x}$ に当てはめます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6.2

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 1.6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6.2.4.2

式を書き換えます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6.2.5

簡約します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.7

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1

$x$ を $25 x$ で因数分解します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

ステップ 1.7.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

ステップ 1.7.2.3

式を書き換えます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

ステップ 1.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

ステップ 1.9

公分母の分子をまとめます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

ステップ 1.10

$\frac{x + 25}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

ステップ 1.11

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.11.1

共通因数を約分します。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

ステップ 1.11.2

$x + 25$ を $1$ で割ります。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

ステップ 2

$20 p$ は $x$ に対して定数なので、 $20 p$ を積分の外に移動させます。

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

ステップ 3

$u = x + 25$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x + 25$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x + 25$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.1.4

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u = x + 25$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 24 + 25$

ステップ 3.3

$24$ と $25$ をたし算します。

$u_{lower} = 49$

ステップ 3.4

$u = x + 25$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 39 + 25$

ステップ 3.5

$39$ と $25$ をたし算します。

$u_{upper} = 64$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

ステップ 6

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$64$ および $49$ で $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.4

$8$ を $3$ 乗します。

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.5

$2$ に $512$ をかけます。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.6

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

ステップ 7.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.8.1

共通因数を約分します。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

ステップ 7.2.8.2

式を書き換えます。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

ステップ 7.2.9

$7$ を $3$ 乗します。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

ステップ 7.2.10

$2$ に $343$ をかけます。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

ステップ 7.2.11

公分母の分子をまとめます。

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

ステップ 7.2.12

$1024$ から $686$ を引きます。

$20 p \frac{338}{3}$

ステップ 7.2.13

$20$ と $\frac{338}{3}$ をまとめます。

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

ステップ 7.2.14

$20$ に $338$ をかけます。

$p \frac{6760}{3}$

ステップ 7.2.15

$p$ と $\frac{6760}{3}$ をまとめます。

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

ステップ 7.2.16

$6760$ を $p$ の左に移動させます。

$\frac{6760 p}{3}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{6760}{3} p$

ステップ 9

$\frac{6760}{3}$ と $p$ をまとめます。

$\frac{6760 p}{3}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例